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给自学数学分析和高等代数的学生和数学爱好者的一点浅陋建议

许多没接触过高等数学（注：这里基于初等数学而言，并非理工科本科学生所学《高等数学》这门具体课程，以下同。）的人会误以为高等数学一定比初等数学难多了，其实就各种数学解题技巧而言，初等数学比高等数学要繁杂困难多了，相比较之下，高等数学反而显得更加简洁，明晰。高等数学的高等只是表现在思维和思想层面。另外高等数学处理的内容和初等数学其实相差无几，只是处理这些内容的角度和观点截然不同。最后，和初等数学相比，高等数学更能体现数学的美感，有数学天赋的人第一次接触高等数学，都应该有一种被震撼的感觉。

其实自学高等数学并不需要你有太多的预备知识，比如高中的许多数学知识对自学高等数学而言其实都不是十分必要的。自学高等数学真正考验的是抽象思维能力，逻辑推理能力。想知道一个中学生有没有数学天赋，最好的办法就是，看他能不能自学高等数学，而不是让他参加各种奥数培训，比赛。有参加过奥数培训的孩子，可能会积累很多课外数学知识，但学起高等数学来却未必有过大的优势。高中学的少部分极限、微分(导数)与积分知识，和大学非数学专业学的《高等数学》还只是属于初等微积分范畴，缺乏严格的逻辑基础。而数学专业所学的数学分析是严格化的微积分（在美国大学它又称高等微积分，对应我国大学数学课程相当于数学分析基本原理+实变函数课程，主要内容包括初等微积分，实数理论、连续、积分、级数及其一致连续、一致收敛，黎曼-斯蒂尔斯积分，勒贝格测度，勒贝格积分等等），这种严格化大致有两个部分：

1，实数系统的构造，和基本性质；

2，极限，导数，积分，微分以及它们的多元版概念的严格化。

对于1.实数的构造大致有两种方法：Dedekind(戴德金)分割和Cauchy(柯西)序列。现在通用的教材几乎都是用Dedekind分割，这种方法更直观且便于理解，只有极少数教材用Cauchy(柯西)序列构造。但是考研数学分析，需要指出的是Cauchy(柯西)序列的方法更有普适性，如在p-adic 数系中就只能用Cauchy(柯西)序列的方法，而且在现代数学中也更有代表性。对于开始学数学分析考研数学分析，熟悉Dedekind(戴德金)分割构造实数及其运算的学生而言，一个绝好的挑战性习题是用Cauchy(柯西)序列的方法重新从有理数构造实数。构造完实数后，实数系有著名的八大基本定理：1，Dedekind(戴德金)分割定理；

2，Cauchy(柯西)极限定理；3，区间套定理；4，上(下)确界（sup/inf）定理；5，有限覆盖定理；6，单调有界定理；7，列紧性定理；8，聚点定理。其中任意一个定理都可以刻画实数系，并推导出其他七个定理。学数学分析的另一个绝好的挑战性习题是证明这八大定理的等价性，同时对于数学系学生而言，这八大定理也是点集拓扑学（大三大四数学专业课程）的最主要发源地之一。

至于2.极限，导数，积分，微分等概念的严格化是一整个非常宏大的系统，限于篇幅我简单描述，我只提一下这个严格化过程中的第一道门槛，那就是非常著名的“极限的ε - δ语言”。这个ε - δ语言是非常具有代表性，浓缩了数百年变量数学发展的精华，充分体现了数学分析和微积分作为变量数学的特色。如何领悟这套ε - δ语言将是初学数学分析者的面临的一个巨大考验，考验的是你的抽象思维能力和逻辑推理能力，而不是你的数学基础知识储备。关于多元微积分，还有一个核心知识点不得不提，那就是微分形式，以及用微分形式来阐述stokes 定理，这个知识点核心级重要，是后面诸多分支，比如代数(同调代数，张量代数)，几何(微分几何，流形上的积分)，分析（陶哲轩实分析，复分析，调和分析或傅立叶分析，泛函分析或变分法，流形分析），拓扑(微分拓扑，代数拓扑)的共同基石。个人认为，如果说学数学分析却没有接触到微分形式是不完整的，是非常遗憾的。

另外再说说《高等代数》（大学数学本科专业的基础课程，理工科本科专业课程《线性代数》）比起数学分析和微积分，高等代数和线性代数相对要简单一些。学习线性代数的一个关键点在于应用考研数学分析，现实中有相当庞大的问题可以简单提炼为线性问题，用线性代数的方法去解决。我发现很多人学过线性代数却不懂得特征值，特征向量，矩阵对角化，化成标准型有什么用考研数学分析，这其实是很可悲的。这些概念在数学理论和现实应用中可谓是无处不在！而且非常重要！来来来，举一个最简单的例子，许多的现实问题都可以归结成线性递归序列，归结为如何求这种递归序列的通项公式，中学只学过将递归序列凑成等比数列的方法，但是，应用矩阵对角化和化成标准型的方法，我们可以求出任何线性递归序列的通项公式。而这仅仅是线性代数最初步，最简单的应用！

作为理工科学生，如果没学相关应用，那么可以说线性代数真的是白学了。具体我可以参考理工科本科院校开设的《线性代数》及其习题集，层次高一点的或者尝试探索一下数学专业的《高等代数》